Appareils électroménagers, extension de garantie et triangle de Pascal

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Dans une enseigne de vente d’appareils électroménagers, une étude a montré que \(32\; \%\) des
clients acceptent de prendre une prolongation de garantie de \(3\) ans.
On choisit au hasard cinq clients ayant effectué un achat. Le nombre de clients est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce choix à un tirage avec remise.
On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque groupe de cinq clients ainsi choisis, associe le
nombre de clients ayant souscrit la prolongation de garantie.
Les probabilités demandées dans les questions 4., 5. et 6. seront arrondies à \(10^{−4}\) près.

1. Quelle est la loi suivie par \(X\) ? On précisera les paramètres. On ne demande pas de justification.
2. Calculer le nombre moyen de clients ayant souscrit la prolongation de garantie dans
un groupe de cinq clients.
3. Recopier et compléter le triangle de Pascal jusqu’à la ligne \(5\).

4. À l’aide du triangle de Pascal, calculer \(P(X=3)\).
5. Calculer la probabilité que, dans un groupe de cinq clients, aucun client n’ait souscrit la prolongation de garantie.
6. Calculer la probabilité que, dans un groupe de cinq clients, au moins un client ait souscrit la prolongation de garantie.